Un parc d’attraction
Un parc d’attraction propose à son public un tout nouveau grand huit. Pour des raisons de sécurité, son accès n’est autorisé qu’aux personnes dont la taille est supérieure ou égale à $1,40$ $m$ et dont l’âge est compris entre $10$ et $70$ ans.
Des études statistiques sont menées pour évaluer l’affluence et la satisfaction des visiteurs pour ce manège.
On arrondira, si nécessaire, les probabilités à $10^{−4}.$
$1)$ $a.$ La taille en centimètres d’un visiteur du parc, choisi au hasard, est modélisée par la variable aléatoire $T$ qui suit la loi normale d’espérance $165$ et d’écart-type $20.$
Quelle est la probabilité qu’un visiteur ait la taille requise pour accéder à ce grand huit ?
$b.$ L’âge d’un visiteur du parc, choisi au hasard, est modélisée par la variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d’espérance $30$ et d’écart-type $17.$
Quelle est la probabilité qu’un visiteur ait l’âge requis pour accéder à ce grand huit ?
$c.$ Les études menées permettent d’établir que $89\%$ des visiteurs ont la taille exigées, $87\%$ ont l’âge requis mais $8\%$ n’ont ni la taille, ni l’âge obligatoires.
Quelle est alors la proportion des visiteurs vérifiant les conditions requises pour essayer la nouvelle attraction ?
$2)$ Un sondage est réalisé à la sortie du grand huit et révèle que $25\%$ des personnes ont attendu moins de $30 min$ avant de pouvoir essayer le manège. Parmi elles, $95\%$ sont satisfaites de l’attraction.
En revanche, $22\%$ des personnes ayant attendu plus de $30 min$ ne sont pas satisfaites de l’attraction.
On choisit au hasard un visiteur à sa sortie du grand huit.
On note $A $ l’événement “le visiteur a attendu plus de $30 min$” et $S$ l’événement “le visiteur est satisfait de l’attraction”.
$a.$ Montrer que la probabilité qu’un visiteur soit satisfait de l’attraction vaut $0,822\ 5.$
$b.$ Le directeur rencontre un visiteur insatisfait. Quelle est la probabilité que ce visiteur ait attendu moins de $30$ min ?
$3)$ Le directeur est soucieux de savoir si le temps d’attente, plus important les jours de grande affluence, remet en cause le taux de satisfaction des visiteurs. Pour cela, on interroge $200$ personnes au hasard à la sortie du grand huit. Parmi elles, $46$ se disent insatisfaites.
Le directeur peut-il être rassuré ?
Des études statistiques sont menées pour évaluer l’affluence et la satisfaction des visiteurs pour ce manège.
On arrondira, si nécessaire, les probabilités à $10^{−4}.$
$1)$ $a.$ La taille en centimètres d’un visiteur du parc, choisi au hasard, est modélisée par la variable aléatoire $T$ qui suit la loi normale d’espérance $165$ et d’écart-type $20.$
Quelle est la probabilité qu’un visiteur ait la taille requise pour accéder à ce grand huit ?
$b.$ L’âge d’un visiteur du parc, choisi au hasard, est modélisée par la variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d’espérance $30$ et d’écart-type $17.$
Quelle est la probabilité qu’un visiteur ait l’âge requis pour accéder à ce grand huit ?
$c.$ Les études menées permettent d’établir que $89\%$ des visiteurs ont la taille exigées, $87\%$ ont l’âge requis mais $8\%$ n’ont ni la taille, ni l’âge obligatoires.
Quelle est alors la proportion des visiteurs vérifiant les conditions requises pour essayer la nouvelle attraction ?
$2)$ Un sondage est réalisé à la sortie du grand huit et révèle que $25\%$ des personnes ont attendu moins de $30 min$ avant de pouvoir essayer le manège. Parmi elles, $95\%$ sont satisfaites de l’attraction.
En revanche, $22\%$ des personnes ayant attendu plus de $30 min$ ne sont pas satisfaites de l’attraction.
On choisit au hasard un visiteur à sa sortie du grand huit.
On note $A $ l’événement “le visiteur a attendu plus de $30 min$” et $S$ l’événement “le visiteur est satisfait de l’attraction”.
$a.$ Montrer que la probabilité qu’un visiteur soit satisfait de l’attraction vaut $0,822\ 5.$
$b.$ Le directeur rencontre un visiteur insatisfait. Quelle est la probabilité que ce visiteur ait attendu moins de $30$ min ?
$3)$ Le directeur est soucieux de savoir si le temps d’attente, plus important les jours de grande affluence, remet en cause le taux de satisfaction des visiteurs. Pour cela, on interroge $200$ personnes au hasard à la sortie du grand huit. Parmi elles, $46$ se disent insatisfaites.
Le directeur peut-il être rassuré ?