Résoudre un exercice ou un problème de mathématiques
- En le lisant, on voit le lien entre les premières questions et les dernières questions
- La dernière partie d'un énoncé est souvent la généralisation du cas particulier de la première, ou l'inverse
- Il y a parfois des indices dans les dernières questions qui donnent une idée de résolution des premières questions
- Un exercice est un "jeu de piste" . On passe par plusieurs étapes, qui ont l'air indépendantes, mais elles permettent toute en réalité d'arriver au bout ! Il est donc bien important de se souvenir des questions et des réponses intermédiaires.
- Faire (sur son brouillon) un schéma du triangle, arc de cercle, courbe de la fonction, premières valeurs d'une suite etc. (le cas échéant) pour bien visualiser les hypothèses et le problème posé
- Il est impératif d'avoir une vision de l'exercice, pas uniquement d'appliquer une recette
- Il faut parfois traduire la question posée en langage mathématique. L'inconnue du problème est l'élément central qui, une fois résolu, permet de répondre à la question posée
- Il y a parfois plusieurs inconnues dans le problème
- Une fois identifiée, on "nomme" l'inconnue, c’est-à-dire qu'on lui donne un nom,
un symbole
Ex : n pour un entier, x pour un nombre réel, v pour une vitesse, d pour une distance, etc.
On doit identifier et préciser l'unité de la variable. Par exemple "Soit d la distance recherchée exprimée en km". Ainsi, au moment du résultat numérique final, on présente une valeur complète : "la distance recherchée est 18,5 km" et non "la distance recherchée est 18,5".
- Traduire l'énoncé, les affirmations du problème (les hypothèses de départ) sous forme de mise en équations mathématiques
- Traduire chaque phrase de l'énoncé en équation mathématique
- Identifier l'inconnue parmi ces équations, et la façon dont on peut les combiner pour simplifier les équations
- Une démonstration, c'est une suite de très petites étapes qui s'enchainent par un raisonnement très simple (ex : une opération, une factorisation) ou par l'utilisation d'un théorème ou d'une autre hypothèse de l'énoncé
- En cas d'utilisation d'une définition, d'une propriété ou d'un théorème connu du cours, il faut alors l'énoncer en rappelant précisément les conditions d'utilisation (ex : "car la fonction f est croissante sur l'intervalle [-1 ; 5]")
- Présence d'un (ou plusieurs) triangle rectangle : Pythagore
- Présence de deux droites parallèles coupant deux axes / côtés d'un triangle : Thalès
- Pour chaque utilisation d'un théorème, rappeler le nom du théorème et les hypothèses vérifiées qui permettent de l'utiliser (Le triangle ABC étant rectangle en A, le théorème de Pythagore permet d'écrire : BC² = AB² + AC²)
- Un brouillon peut être utile. Il faut écrire les enchaînements quitte à s'arrêter si on sent qu'on est dans une impasse (au bout de 4 ou 5 lignes)
- Il faut écouter son intuition, et travailler l'amélioration de son intuition par la bonne compréhension des erreurs et la répétition des exercices
- Un problème n'est pas qu'un calcul. Il faut répondre par une phrase claire et complète
- Ne pas oublier les unités (km, secondes, etc.) quand le résultat est numérique
- Penser à vérifier les "exclusions" (ex : les valeurs interdites en cours de démonstration ne doivent pas être dans la solution, solutions bien présentes dans l'ensemble de définition, etc.)
- Encadrer proprement le résultat de chaque question intermédiaire, puis le résultat final. Cela permet aussi de fixer l'attention sur les résultats antérieurs, qui sont sans doute utiles pour la suite de l'exercice.
- En fin d'exercice, faire des contrôles de cohérence rapides sur le résultat : a-t-il le bon signe ? Est-il pair ou impair ? l'ordre de grandeur est-il logique ? Le but est de repérer très vite si une erreur manifeste est présente.
- Relire rapidement mais sérieusement son exercice, pendant que c'est encore "chaud", pour bien vérifier les enchainements (calculs numériques, signes, développements et factorisation). A chaud, l'erreur se repère assez vite : ce n'est pas du temps perdu !
Ne pas oublier !
Dans l'enseignement français, la qualité du raisonnement est très importante. Il ne s'agit pas uniquement de trouver le résultat. En particulier, lorsqu'un exercice est simple, la qualité de l'argumentation est essentielle, et prime sur le résultat.
Il est donc très important :
D'expliquer le cheminement suivi, dès lors qu'il n'est pas que numérique
Ex : il n'est pas nécessaire d'expliquer le passage d'une ligne à la suivante
quand il s'agit juste de multiplier les deux termes d'une égalité par un même
nombre
En revanche, l'apport d'un élément externe (ex : un théorème) doit être
explicite (ex : "Or, d'après le théorème de Pythagore, etc.")
De bien maîtriser les enchainements logiques : "Or", "d'où", "donc", "car", "entraîne" (ou "implique"), "équivaut à" sont des termes précis qui ont une signification propre. Il faut bien les comprendre, et comprendre ce qui les distingue entre eux.