Chapitres Seconde > Fonctions - Études de fonctions

$1)$ Dans chaque cas, comparer les nombres suivants sans les calculer :

$a)$ $2,182^{2} $ et $2,1819^{2}$

$b)$ $(-1,0001)^{2}$ et $(-0,9999)^{2}$

1) Construire la parabole d'équation $y=x^{2}$ dans un repère orthogonal.

2) Résoudre graphiquement dans $\mathbb{R}$ l'équation $x^{2}=7$.

3) Résoudre algébriquement dans $\mathbb{R}$ l’équation $x^{2}=7$.

4) Résoudre dans $\mathbb{R}$ en appuyant son raisonnement sur un graphique l’inéquation $x^{2}\geq7$.

1) Quelles sont les deux solutions de l'équation $x^{2}=3$ ?

2) Pourquoi l'équation $x^{2}=-3$ n'a-t-elle pas de solutions ?

3) Quelle est l'unique solution de l'équation $x^{2}=0$ ?

Déterminer un encadrement de $x^{2}$ dans chacun des cas suivants

$a)$ $1\leq x\leq5$

$b)$ $-2<$ $x$ $\leq -0,5$

$1)$ Dans un repère orthonormé $(0, I, J)$, $A$ est le point de coordonnées $(0,-1)$. Soit $M$ le point de coordonnées $(x;0)$, où $x$ est un nombre réel. Soit $B$ le point d'intersection de l'axe des ordonnées et de la perpendiculaire en $M$ au segment $\lbrack A M\rbrack$. Soit $M'$ le point d'intersection de la perpendiculaire en $M$ à l'axe des abscisses et de la perpendiculaire en $B$ à l'axe des ordonnées.

Construire la figure $($avec un logiciel de géométrie si possible$)$, que conjecturer sur la courbe décrite par le point $M'$ lorsque $M$ décrit l'axe des abscisses $?$

$2)$ Que vaut $OB$ lorsque $x=0$ $?$

Supposons dorénavant que $x\neq 0$. Soit $\alpha$ une mesure de l'angle géométrique $\widehat{OBM}$.
$3$ $a)$ Démontrer que $\alpha$ est aussi une mesure de l'angle géométrique $\widehat{OMA}$.

3b) Démontrer que $OM^{2}=OB\times OA$.

$3$ $c)$ En déduire que $OB=x^{2}$ et la courbe décrite par le point $M'$ lorsque $x$ décrit l'ensemble des nombres réels.

$1)$ Montrer que $x^{2}-6x+9=(x-2)(x-4)$.

$ 2)$ En déduire le signe de $x^{2}-6x+8$ si $ x \in ]-2;4 \lbrack$.

$3)$ Jean a placé les points $A(2;4)$ et $B(4;16)$ de la parabole d'équation $y=x^{2}$ dans un repère orthogonal. Il trace ensuite le segment $\lbrack AB \rbrack$.
Ce segment contient-il un autre point de la parabole d'équation $y=x^{2}$ que les points extrémités $A$ et $B$ $?$

$1)$ Tracer la courbe de la fonction carré sur l'intervalle $\lbrack-\sqrt{2};2 \rbrack$.

$2)$ En déduire par lecture graphique un encadrement de $x^{2}$ pour $ x \in \lbrack-\sqrt{2};2 \rbrack$.

$x$ désigne un nombre réel. Dans chaque cas, dire si la proposition est vraie ou fausse. Si elle est vraie, indiquer la propriété qui permet de l'affirmer. Si elle est fausse, expliquer pourquoi à l'aide d'un contre exemple.

$1)$ Si $x\geq 3$, alors $x^{2}\geq 9$.

$2)$ Si $x\leq 2$, alors $x^{2}\leq 4$.

$3)$ Si $x\leq -1$, alors $x^{2}\geq 1$.

$4)$ Si $-5\leq x\leq -1$ alors $0\leq x^{2}\leq 30$.

$5)$ Si $-1\leq x \leq 2$ alors $1\leq x^{2}\leq 4$.

$6)$ Si $a=b$, alors $a^{2}=b^{2}$.

$7)$ Si $a^{2}\neq b^{2}$ alors $a\neq b$.

$8)$ Si $a^{2}= b^{2}$ alors $a=b$.

$f$ est la fonction inverse. Calculer les images par $f$ des réels :

$1)$ $\frac{3}{4}$ ;

$2)$ $-\frac{1}{8}$ ;

$3)$ $10^{-7}$ ;

$4)$ $\sqrt{2}$ $($on ne laissera pas le radical au dénominateur$).$

Dans chaque cas, comparer les nombres suivants sans les calculer :

$1)$ $\frac{1}{-0,011}$ et $\frac{1}{-0,0099}$ ;

$2)$ $\frac{1}{\pi -2}$ et $\frac{1}{1,15}.$

$1)$ Construire l'hyperbole d'équation $y=\frac{1}{x}$ dans un repère orthogonal.

$2)$ Résoudre graphiquement et algébriquement dans $\mathbb{R}$ l'équation $\frac{1}{x}=3$.

$3)$ Résoudre dans $\mathbb{R}$ en appuyant son raisonnement sur un graphique l'inéquation $\frac{1}{x}\leq 3$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)= \dfrac{1}{3}(x-2)^2-12.$

$1)$ Déterminer les variations de $f$.

$2)$ Résoudre l’équation $f(x)=0$.

$3)$ En déduire le tableau de signe de $f$.