Chapitres Terminale ES > Analyse - Continuité sur un intervalle, th. des VI

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$f (x) = x^3 − 2x^2 + x − 1.$$
$1)$ Montrez que $f$ est strictement croissante sur $[1 ; 2]$.

$2)$ Montrez qu’il existe une unique solution $α$ à l’équation $f (x) = 0.$

$3)$ Donnez une valeur approchée de $α$ à $0, 1$ près.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^∗$ par :
$$f(x)=\dfrac{1}{x}+x^2+x.$$
$1)$ Soit $g(x) = −1 + 2x^3 + x^2.$ Calculer $g (x)$, puis en déduire les variations de $g.$

$2)$ Montrer alors que l’équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $α$ comprise entre $0$ et $1,$ dont on donnera une valeur approchée au millième près.

$3)$ Montrer que la courbe représentative de la fonction $f$ coupe l’axe des abscisses en un unique point, dont on donnera une valeur approchée de son abscisse au dixième près.

$T$ est la tangente à $C_f$ en $0$. À l’aide du graphique ci-dessus, répondez aux questions suivantes :

$1)$ Que vaut $f '(0)$ $?$ $g '(2)$ $?$

$2)$ Résoudre l’inéquation $f(x)\geq g(x)$ sur $[−2 ; 5].$

$3)$ Que semble valoir $\lim\limits_{x \to +\infty} f (x)$ $?$

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur l'intervalle $[a;b]$, tels que :
$$\forall x \in [a;b] \: f(x)>g(x).$$
Monter que : $$(\exists m \in \mathbb{R^*_+}) (\forall x \in [a;b]) \: f(x)\geq g(x)+m.$$

Soit $f$ la fonction numérique continue sur $[a;b]$ vers $[a;b]$ telle que : $ab>0.$
Monter $\exists x_0 \in [a;b]\ / \: x_0f(x_0)=ab.$

Soit la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R^*}$ par :
$$f(x)=\dfrac{1}{x}((1+x)^{2000}-1).$$ La fonction $f$ admet une prolongement par continuité en $x_0=0.$

On considère la fonction $C$ définie sur l’intervalle $\left[5 ; 60\right]$ par : $$C\left(x\right)=\frac{e^{0,1x}+20}{x}.$$
$1)$ On désigne par $C^{\prime}$ la dérivée de la fonction $C.$ Montrer que, pour tout $x\in \left[5 ; 60\right]$ : $C^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{0,1xe^{0,1x}-e^{0,1x}-20}{x^{2}}.$

$a.$ Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\left[5 ; 60\right].$

$b.$ Montrer que l’équation $f\left(x\right)=0$ possède une unique solution $ \alpha$ dans $\left[5 ; 60\right].$

$c.$ Donner un encadrement à l’unité de $\alpha.$

$d.$ En déduire le tableau de signes de $f\left(x\right)$ sur $\left[5 ; 60\right].$

$3)$ En déduire le tableau de variations de $C$ sur $\left[5 ; 60\right].$

$4)$ En utilisant le tableau de variations précédent, déterminer le nombre de solutions des équations suivantes :

$a.$ $C\left(x\right)=2$ ;

$b.$ $C\left(x\right)=5.$