Chapitres Première ES > Algèbre et Analyse - Étude de fonctions

Soit $f$ la fonction définie sur $ \mathbb{R} - $ {$1$} par :
$$f(x) =\dfrac{x^2-x+16}{x-1}$$ $1)$ Trouver les réels $a, b$ et $c$ tels que $f(x) = ax+b+\dfrac{c}{x-1}$.
Pour la suite vous pourrez admettre, si nécessaire, que $f(x)=x+\dfrac{16}{x-1}$.

$2)$ Calculer la dérivé $f’$, de $f$, puis étudier son signe et en déduire les variations de $f$.

$3)$ Etudier ses limites lorsque :
$x$ tend vers $-\infty $ ;
$x$ tend vers $+\infty $ ;
$x$ tend vers $1$ en étant inférieur à $1$ ;
$x$ tend vers $1$ en étant supérieur à $1$.

$5)$ Déduire du tableau de variation de f que l’équation $f(x) = 0$ n’a pas de solution.

Soit $f$ la fonction définie sur par $f(x)=x^2+6x+5.$

$1)$ Etudier les variations de f sur $\mathbb{R}$.

$2)$ Déterminer les coordonnées des points d’intersection entre la courbe représentative de $f$ et la droite $D$ d’équation $y=\dfrac{1}{2}x-2$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x)=\dfrac{-4x-4}{x^2+2x+5}$$
$1)$ Etudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ .

$2)$ Déterminer les coordonnées du point A,intersection entre la courbe représentative de $f$ et l'axe des abscisses.

$3)$ Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe représentative de $f$ au point $A$.

Etudier les variations sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f$ définie par : $f(x)=3x-4x^3$.

Etudier les variations sur $]−2;1[$ de la fonction $f $ définie par : $f(x)=\dfrac{-5x²+4x-8}{x²+x-2}$

On considère la fonction $f$, définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$f(x) = x^2 + 2x − 3$$
$1)$ Déterminer les racines de $f$ sur $\mathbb{R}$.

$3)$ Dresser le tableau de signe de $f(x).$

$4)$ En utilisant la question précédente, donner directement les solutions de l’inéquation $f(x) < 0$.

$5)$ Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ en faisant apparaître les racines éventuelles dans le tableau.

$6)$ Sur le graphique de l’annexe, on a tracé la courbe représentative de la fonction $g$, définie sur $\mathbb{R}$ par : $$g(x) = 4 − x^2.$$
Construire $C_f$, la courbe représentative de la fonction $f$ sur ce même repère $($on fera apparaître clairement le sommet et les racines$)$.

$7)$ Déterminer graphiquement puis par le calcul, les solutions de l’équation $f(x) = g(x).$

Déterminer graphiquement le nombre de solution de l’équation $$\sqrt{x+3}=x^2+x+3.$$

Dresser le tableau de variations de la fonction suivante sur son ensemble de définition : $$f(x) = −2(x + 1)^2 + 7.$$

Dresser le tableau de variations de la fonction suivante sur son ensemble de définition : $$f(x)=4+\dfrac{5}{x+3}.$$

Décomposer la fonction $f$ suivante à l’aide de fonctions usuelles puis déduire les variation de $f$ sur l'intervalle demandé : $f(x)=\sqrt{x-3}$ sur $I=[3,+\infty [.$

Décomposer la fonction $f$ suivante à l’aide de fonctions usuelles puis déduire les variation de $f$ sur l'intervalle demandé : $f(x)=\dfrac{-3}{\sqrt{2-x}}$ sur $I=]-\infty; 2 [.$

Un camion doit parcourir un trajet de $200\ km$, on suppose que sa vitesse $($en $km/h)$ est constante et on la note $x$. La consommation de carburant du camion est de $6 + \dfrac{x^2}{800}$ litres de gasoil par heure avec un prix du gasoil au litre de $1 €$ et le chauffeur est payé $10€$ de l’heure.

$1)$ Exprimer le temps de trajet $t$ en fonction de $x.$

$2)$ En déduire le coût en carburant sur l’ensemble du trajet en fonction de $x$, puis le coût du chauffeur sur l’ensemble du trajet en fonction de $x.$

$3)$ Montrer que le coût total du trajet en fonction de $x$ est $C(x) = \dfrac{x}{4}+\dfrac{3200}{x}$.

$4)$ Etudier les variations de la fonction $C$ sur $[0; +∞[.$

$5)$ En déduire quelle doit être la vitesse du camion pour que le coût total du trajet soit minimal.