Chapitres Première S > Analyse - Dérivation

Soit $C$ la courbe représentative d'une fonction $f$ dérivable en $3.$
On sait que $f(3)=-2$ et $f'(3)=0.5.$
Écrire une équation de la tangente $T$ à $C$ au point d'abscisse $3.$

Dériver la fonction $f$ dans les cas suivants :

$1)$ $f(x)= -4x^{3}+2x^{2}-3x+1$

$2)$ $f(x)= \dfrac{3x^{2}-4x}{2}$

$3)$ $f(x)=(\sqrt{x}+1)\times(x^{2}-2)$

$4)$ $f(x)=\dfrac{1}{1-4x}$

Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe de la fonction $f$ au point d'abscisse $a$ dans les cas suivants :

$1)$ $f(x)=3x^{2}-x+1$, avec $a=1$

$2)$ $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-2}$, avec a=3

$3)$ $f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x}$, avec $a=9$

Soit $ f$ la fonction définie sur $R^{*}$ par $f(x)=\frac{-x^{2}+2x-1}{x}$, on note $C$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

$1)$ Déterminer les abscisses des points de la courbe $C$ où la tangente est horizontale.

$2)$ Existe-t-il des points de la courbe $C$ où la tangente admet un coefficient directeur égale à $-2$ $?$

$3)$ Déterminer les abscisses des points de la courbe $C$ où la tangente est parallèle à la droite d’équation $y= \dfrac{-2}{3}x-5$.

Lire graphiquement le coefficient directeur s’il existe de chacune des droites représentées ci-dessous.

$1)$ Déterminer le sommet ܵ$S$ de la parabole $\mathscr{P}$ d’équation $y=2x^2-4x+3.$

$2)$ Déterminer la tangente à $\mathscr{P}$ en ܵ$S$.

$3)$ Démontrer que la tangente au sommet ܵ$S$ à une parabole $\mathscr{P}$ d’équation $y=ax^2+bx+c $avec, et $a, b$ et $c$ trois réels $(a\neq0)$ est toujours horizontale.

On considère la fonction carrée $f$.

$1)$ Calculer ݂$f(5)$ et ݂$f(5+h)$ où $h$ ݄est un réel.

$2)$ En déduire une expression simplifiée de $\dfrac{f(5+h)-f(5)}{h}.$

$3)$ Déterminer le nombre dérivé de en 5.

Tracer dans chaque cas, la droite passant par $A$ et de coefficient directeur $m.$ Déterminer une équation de chacune de ces droites.

$1)$ $A(2;1)$ et $m=2.$

$2)$ $A(3;4)$ et $m=2.$

$3)$ $A(-1;1)$ et $m=\frac{1}{3}.$

$4)$ $A(3;-2)$ et $m=0.$

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse en justifiant la réponse.

$1)$ $f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=x³+3x²+3x+1.$

$a.$ $f$ s'annule en $-2.$

$b.$ $f'$ s'annule en $-1$.

$c.$ L'approximation affine de $f(1+h)$ pour $h$ proche de $0$ est $0.$

$d.$ L'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$ est $y=3x+1.$

$2)$ $f$ est la fonction définie sur $[-\frac{1}{2};+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{2x+1}$.

$a.$ Pour tout $x>-\frac{1}{2}$, on a $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{2x+1}}.$

$b.$ $f'(0)=1.$

$c.$ L'approximation affine de $f(h)$ pour $h$ de $0$ est $h.$

On a représenté la courbe d’une fonction $f$ et certaines de ses tangentes.

$1)$ Donner l’interprétation graphique de $f'(3)$ puis lire graphiquement sa valeur.

$2)$ Lire de même $f'(-5)$ ; $f'(-3)$ et $f'(0)$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-3$.

$1)$ Tracer la courbe de $f$ dans un repère orthonormé.

$2)$ On donne $f'(-2)=-4$. Tracer la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $ -2$.

On considère le tableau de valeurs suivant :

$1)$ Dans un repère orthonormé, placer les points de la courbe $C$ de $f$ connus.

$2)$ Tracer les tangentes à $C$ en ces points.

$3)$ Tracer une allure possible de la courbe de $f$.