Chapitres Première S > Géométrie - Géométrie plane

Pour chaque question, dire si les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires.

$1)$ $\overrightarrow{u}=-x+5y$ et $\overrightarrow{v}=3x+2y$.

$2)$ $\overrightarrow{u}=-3x+7y$ et $\overrightarrow{v}=-7x+3y$.

$3)$ $\overrightarrow{u}=2x+3y$ et $\overrightarrow{v}=\dfrac{10}{3}x+5y$.

Soient $\overrightarrow{u} \binom{a+1}{2a}$ et $\overrightarrow{v} \binom{1}{a-1}$.
Déterminer les éventuelles valeurs de $a$ pour lesquelles ces deux vecteurs sont colinéaires.

$ABCD, CEFD$ et $EGHF$ sont trois carrés de même côtés.
$I$ est le milieu de $[AC]$ et $J$ est le point d'intersection de $(BC)$ et $(AH)$.
Montrer que $E, J$ et $I$ sont alignés.

Soit $ABC$ un triangle. On considère alors les points $E,F$ et $H$ tels que :
$ \overrightarrow{EC}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AC} $ ; $ \overrightarrow{AF}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB} $ ; $ \overrightarrow{CH}=-\frac{9}{7}\overrightarrow{BC}$.

$1)$ Faire une figure.

$2)$ Exprimer $\overrightarrow{EF}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\frac{2}{5}\overrightarrow{AC} $.

$3)$ Exprimer le vecteur $\overrightarrow{EH}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC} $.

$4)$ En déduire que les points $E,F$ et $H$ sont alignés.

Dans un repère, on considère $A(-6; 1), B(3; 1), C(15;4) $ et $D(\frac{15}{2};2)$.

$1)$ Les points A, B et C sont-ils alignés? Justifier.

$2)$ les points A, B et D sont-ils alignés? Justifier.

On considère $E(-7;6), F(3;3), G(-8;-1) \;et\; H(4;-5)$.

$1)$ Les droites $(EF)$ et $(GH)$ sont -elles parallèles? Justifier.

$2)$ On considère $I(x;-5)$. Déterminer $x$ pour que $(EF)$ et $(GL)$ soient parallèles.

Dans chaque cas, déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$.

$1)$ $A(-1;2)$ et $B(3;-7)$.

$2)$ $A(3;-2)$ et $\overrightarrow{u} \binom{2}{1}$ est un vecteur directeur de $(AB)$

$3)$ $A(5;-4)$ et $(AB)$ est parallèle à la droite d'équation cartésienne $x+y+1=0$.

$4)$ $A(3;2)$ et $(AB)$ a pour coefficient directeur $-\frac{1}{2}$.

$ABCD$ est un rectangle. $E$ est le symétrique de $C$.
par rapport à $B$. $F$ est le symétrique de $A$ par rapport à $D$. $G$ est défini par $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$.
$1)$ Dans le repère $(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD})$, donner les coordonnées de $A$,$B$,$C$ et $D$ sans justifications.

$2)$ Calculer les coordonnées de $E$ , $F$  et $G$.

$3)$ Les points $E$, $F$ et $G$ sont -ils alignés? Justifier la réponse.

Dans un repère orthonormé, on considère la droite $D_{m},m \in \mathbb{R}$, dont une équation cartésienne est :
$mx+(2m-1)y+4=0$.

$1)$ Pour quelle(s) valeur(s) de $m$ la droite est-elle parallèle à l'axe des abscisses ?

$2)$ Pour quelle(s) valeur(s) de $m$ la droite est-elle parallèle à l’axe des ordonnées ?

$3)$ Montrer que quelle que soit la valeur de $m$, la droite $D_{m}$ passe par un point fixe dont on précisera les coordonnées.

Dans un repère orthonormé $(O ,\overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} )$, on considère les points $A(3 ; 1), B(1 ; 2), C(2 ; −1)$ et $D(−4 ; 2)$.

$1)$ Montrer que les droites $(AB$) et $(CD)$ sont parallèles.

$2)$ Montrer que $O$ appartient à $(CD)$.

$3)$ Soit $M(x ; y)$. Exprimer les distances $BM$ et $CM$ en fonction de $x$ et $y$.
En déduire une équation de la droite $∆$, médiatrice de $[BC]$, puis montrer que $ ∆$ est la droite $(OA)$.

On considère un triangle $ABC$. $E$ est le symétrique de $B$ par rapport à $C$. Les points $F$ et $G$ sont définis par $\overrightarrow{AF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BG}=-2\overrightarrow{BA}$.

$1)$ Dans le repère $(A;\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AC})$, calculer les coordonnées de $E$,$F$ et $G$ .

$2)$ Démontrer que les points $E$,$F$ et $G$ sont alignés.

Soient $\overrightarrow{u} (4; −3)$, $\overrightarrow{v} (t; 2)$ et $\overrightarrow{w} (x+1; y−2)$.

$1)$ Déterminer t pour que $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ soient colinéaires.

$2)$ Déterminer une relation entre $x$ et $y$ pour que $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{w}$ soient colinéaires.