Chapitres Première S > Statistiques et probabilités - Probabilités

Une urne contient $20$ boules numérotées de $1$ à $20$. On tire une boule au hasard.
On note les événements suivants :

$A$ : “ le numéro sorti est un multiple de $3$ ” ;
$B$ : “ le numéro sorti est strictement supérieur à $5$ ”.
Calculer : $p(A), p(B), p\left(\overline{A}\right), p\left(\overline{B}\right), p\left(\overline{A \cap B}\right), P\left(\overline{A} \cup \overline{B}\right), p\left(\overline{A \cup B}\right) $et$ p\left(\overline{A} \cap \overline{B}\right)$.

Le coût de fabrication d’une tablette d’une marque donnée est de $200$ euros.
Un mauvais réglage sur une machine qui les fabrique est à l’origine de deux types de défauts noté $A$ et $B.$
Une tablette peut avoir les deux défauts en même temps.

$10\%$ des tablettes possèdent le défaut $A$ ;
$7\%$ des tablettes possèdent le défaut $B$ ;
$2\%$ des tablettes possèdent les deux défauts.
Avant la commercialisation des tablettes, au prix unitaire de $500$ euros, celles-ci sont testées. Celles qui présentent des défauts sont réparées.
Corriger le défaut $A$ coûte $50$ euros et corriger le défaut $B$ coûte $100$ euros.

$1)$ Une tablette est prise au hasard. Quel bénéfice le fabriquant peut-il espérer de sa vente ?

$2)$ S’il vend $10$ millions de tablettes, quel bénéfice global peut-il espérer ?

Un commercial contacte par téléphone des clients éventuels. Il sait qu’il y a $2\%$ de chance que la personne contactée lui passe commande.
Ce commercial appelle $n$ personnes. On assimile la situation à un tirage avec remise.
On appelle $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de personnes qui a passé commande.

$1)$ Quelle loi suit $X$ ? Justifier et donner ses paramètres.

$2)$ Donner la valeur de $ E(X)$.

$ 3 )$ Déterminer la valeur de $n $ pour que $E(X)=5$. Interpréter le résultat.

$4)$ Si $n=250$, donner une valeur approchée au millième de $P(X=5).$

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $n=9$ et $p=\frac{1}{3}.$

$1)$Calculer son espérance et son écart-type.

$2)$ Calculer $P(X≥2)$. Donner une valeur approchée au millième.

Un élève se rend à vélo au lycée distant de $3$ km de son domicile à une vitesse supposée constante de $15\ Km.h^{-1}$.
Sur le parcours, il rencontre $6$ feux tricolores non synchronisés. Pour chaque feu, la probabilité qu’il soit au vert est $\frac{2}{3}$.
Un feu rouge ou orange lui fait perdre une minute et demie. On appelle $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de feux verts rencontrés par l’élève sur son parcours et $T$. La variable aléatoire égale au temps en minute mis par l’élève pour aller au lycée.

$1)$ Déterminer la loi de probabilités de $X$.

$3)$ Déterminer $E(T)$ et interpréter ce résultat.

$4)$ L’élève part $17$ minutes avant le début des cours.
a. Peut-il espérer être à l’heure ?

b. Calculer la probabilité qu’il soit en retard.

Une urne contient $10$ boules blanches et $n$ boules rouges, $n$ étant un entier naturel supérieur ou égal à $2$. On fait tirer à un joueur des boules de l’urne. À chaque tirage, toutes les boules ont la même probabilité d’être tirées. Pour chaque boule blanche tirée, il gagne $2$ euros et pour chaque boule rouge tirée, il perd $3$ euros.
On désigne par $X$ la variable aléatoire correspondant au gain algébrique obtenu par le joueur.

$1)$ Le joueur tire deux fois successivement et sans remise une boule de l’urne.
$a)$ Démonter que $P(X = -1) = \dfrac{20n}{(n + 10)(n + 9)}.$

$b)$ Calculer, en fonction de $n$ la probabilité correspondant aux deux autres valeurs prises par la variable $X.$

$c)$ Vérifier que l’espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ vaut : $E(X) = \dfrac{-6n^2 -14n + 360}{(n + 10)(n + 9)}.$

$d)$ Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles l’espérance mathématique est strictement positive.

Alain et Benjamin pratiquent assidûment le tennis. On estime que la probabilité qu’Alain gagne une rencontre est de 0,6. Ils décident de jouer trois matchs dans l’année (les résultats des matchs sont indépendants les uns des autres) et de faire une cagnotte pour s’offrir un repas en fin d’année. A la fin de chaque match, le perdant versera $20€$.
Benjamin s’interroge sur sa dépense éventuelle en fin d’année.
On note $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de matchs gagnés par Benjamin et $D$ la variable aléatoire correspondant à la dépense de Benjamin.

$a.$ Quelles sont les valeurs possibles de $X$ ? Exprimer $D$ en fonction de $X$ et en déduire les valeurs possibles de $D$.

$b.$ Démontrer que la probabilité que Benjamin dépense $40€$ est de $0,432$.

$c.$ Calculer l’espérance de dépense en fin d’année de Benjamin.

Un pépiniériste conditionne des bulbes de fleurs .On conviendra qu’un bulbe germe s’il donne naissance à une plante qui fleurit. On considère que le pépiniériste dispose d’un très grand nombre de bulbes et que la probabilité qu’un bulbe germe est de $0,83$.
Il prélève au hasard successivement quinze bulbes de ce stock. On note $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de bulbes qui germent.

$1)$ Quelle est la loi de $X$ ?

$2)$ Quelle est la probabilité qu’exactement $5$ bulbes choisis germent ?

$3)$ Quelle est la probabilité qu’au moins $9$ bulbes germent ?

$4)$ En moyenne, sur un prélèvement de $15$ bulbes, combien vont germer?

Une compagnie de transport désire optimiser les contrôles afin de limiter l’impact des fraudes. Cette compagnie effectue une étude basée sur $2$ trajets par jour pendant les $20$ jours ouvrables d’un mois, soit au total $40$ trajets.
On admet que les contrôles sont indépendants les uns des autres et que la probabilité pour tout voyageur d’être contrôlé est égale à $p$.
Un trajet coûte $10€$ ; en cas de fraude, l’amende est de $100€$. Théo fraude systématiquement lors des $40$ trajets étudiés. On note $X$  la variable aléatoire qui compte le nombre de trajets où Théo a été contrôlé.

$1$) On suppose que $p= 0,05$.

$a$. Calculer à $10^{-4}$ près la probabilité que Théo soit contrôlé au plus $2$ fois.

$b$. Soit $Z$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique réalisé par Théo. Justifier que $Z= 400 − 110X$ puis calculer $E(Z).$

$2)$ On ne connaît plus la valeur de $p$.
Pour quelles valeurs de $p$, la fraude systématique est-elle favorable à Théo ? Justifier.

Indiquer en justifiant si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

$1)$ Si $X$ est une variable aléatoire suivant la loi $B(n;\frac{1}{3})$ avec $n ≥ 2 $, alors $p(X ≥ 1 )= 1 − (\frac{2}{3})^n$.

$3)$ Si $X$ est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale avec $E(X) = 36$ et $\sigma(X) = 3 $ alors $p(X = 29) ≈ 0,01$ à $10^{-3}$ près.

Pour une compétition internationale, le sélectionneur doit choisir entre deux tireurs à l’arc dont les performances sont définies par les lois de probabilités ci-dessous.
A chaque tir dans la cible, on associe un nombre de points. Plus la flèche est proche du centre de la cible, plus le nombre de points est élevé.
On note $X$ et $Y$ les variables aléatoires donnant le nombre de points obtenus à chaque tir respectivement par le tireur $A$ et le tireur $B$.

Calculer l'espérance et l'écart type de chacune des deux variables aléatoires.
Compte tenu de ces informations, quel tireur va choisir le sélectionneur ?

M. Mathix vient de gagner au loto une belle somme d'argent. Il veut en faire profiter ses deux jeunes neveux Arnaud et Bertrand. Mais en bon mathématicien, il décide de compliquer un peu les choses. M. Mathix va approvisionner sur une durée de $14$ ans deux comptes séparés $A$ et $B$.
Compte $A$ : C'est un compte à intérêts composés au taux annuel de $3\%$. C'est à dire que le capital va produire $3\%$ d'intérêts venant se rajouter au capital.
Au $1^{er}$ Janvier $2012$, M. Mathix dépose sur ce compte $15\ 000\ €.$ Au $1^{er}$ Janvier de chaque année suivante, M. Mathix dépose $3\ 000\ €$ supplémentaires.
Compte $B$ : Au $1^{er}$ Janvier $2012$, M. Mathix dépose $3\ €.$
Au $1^{er}$ Janvier de l'année suivante, $6$ € sont déposés. Et ainsi de suite, en doublant chaque année. Ce compte ne produit aucun intérêt.

$1°)$ Étude du compte $A$ :
On appelle $C_n$ le capital acquis au $1^{er}$ Janvier de l'année $( 2012 + n )$. On note $C_0 =15\ 000$.

$a)$ Calculer $C_1$ le capital acquis au bout d'un an.

$b)$ Expliquer pourquoi $C_{n +1} =1,03 ×C_n +3\ 000.$

$c)$ On pose $V_n =C_n +100\ 000$
Montrer que $V_{n +1} =1,03 V_n. $
En déduire la nature de la suite $( V_n )$ et préciser ses éléments caractéristiques.

$d)$ Pour $n$ entier naturel, exprimer $V_n$ en fonction de $n$ puis $C_n$ en fonction de $n.$

$e)$ A l'aide de votre calculatrice, indiquez au bout de combien d'années le capital dépassera les $50\ 000$ €. Justifier soigneusement.

$f)$ Déterminer la limite de la suite $( C_n )$ .

$2°)$ Étude du compte $B$ :
On note $u_n$ la somme déposée sur le compte $B$ au $1^{er}$ Janvier de l'année $n$ . Ainsi $u_0 = 3 .$
On pose $T_n =u_0 + u_1 +...+u_n$ la somme totale déposée au bout de $n$ années sur le compte $B$.
Exprimer $T_n$ en fonction de $n$.

$3°) $ Comparaison :
Arnaud choisit le compte $A$ et Bertrand le compte $B$. Chacun récupérera le capital acquis sur le compte au $1^{er}$ Janvier $2026$. On suppose qu'ils seront alors tous les deux bien vivants.
Qui a fait le meilleur choix ?