Chapitres Seconde > Fonctions - Équations

$1)$ Soit $ f(x) = (x-2)^{2} - 3(x-2) $ pour tout nombre réel $x$.
$1$ $a)$ Montrer que, pour tout nombre réel x, $ f(x) = x^2 - 7x + 10$.

$b)$ Montrer que, pour tout nombre réel $x$, $ f(x) = (x-2)(x-5)$.

$2)$ On dispose maintenant de trois formes pour $f (x)$ :
- forme initiale : $(x-2)^2 - 3(x-2)$ ;
- forme développée : $(x)^2 - 7x + 10$ ;
- forme factorisée : $(x-2)(x-5)$.

Répondre à chacune des questions suivantes, sans calculatrice, en veillant à choisir judicieusement à chaque fois la forme de $f(x)$ que vous utiliserez :

$2$ $a)$ Calculer $f(0)$ et $f(\sqrt{2})$

$b)$ Calculer $f(2)$ et $f(5)$

$c)$ Résoudre l’équation $f(x)=0$

$d)$ Résoudre l'équation $f(x)=10$.

Résoudre les équations suivantes, en précisant au préalable l’ensemble d’étude :

$1)$ $\quad\dfrac{4}{3}x\ – \dfrac{5}{4} = x + \dfrac{1}{12}$ ;

$2)$ $\quad\dfrac{4x – 1}{x – 4} = 0$ ;

$3)$ $\quad x – 3 + 2(x^2 – 9) + (x – 3)(2x + 6) = 0$ ;

$4)$ $\quad x – 2 – \dfrac{1 – 5x}{6} = 2x – \dfrac{3}{4}(x – 1)$

$5)$ $\quad \dfrac{x + 1}{3} – \dfrac{x – 4}{5} = \dfrac{8x – 7}{15}.$

Résoudre les équations suivantes, en précisant au préalable l’ensemble d’étude :

$1)$ $\quad \dfrac{x^2 – 5}{x – 5} = 1$ ;

$2)$ $\quad (x^2 + 1)(x + 2)(x – 3) = 0$ ;

$3)$ $\quad \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x + 1} = 0.$

Résoudre les équations suivantes, en précisant au préalable l’ensemble d’étude :

$1)$ $\quad \dfrac{2x + 1}{2x – 1} = \dfrac{2x + 5}{2x + 3}$ ;

$2)$ $\quad \dfrac{1}{x + 1} = 0$ ;

$3)$ $\quad (x – 3)^2 – (2x + 1)^2 = 0.$

Soit pp la fonction définie par $p(x) = \dfrac{25 – x}{45 – 2x}.$

$1)$ Donner le domaine de définition de $p$.

$2)$ Résoudre $p(x)=0,6.$

$3)$ Résoudre $p(x)≥0$.

On donne $f(x)=(3x−2)^2−16.$

$1)$ Développer $f(x)$.

$2)$ Factoriser $f(x)$.

$a.$ Calculer l’image de $0$.

$b.$ Déterminer les antécédents de $0$.

$c.$ Résoudre l’équation $(E) : f(x)=−16$.

Sur le graphique suivant sont représentées les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=0,5x^2−1,5$ et $g(x)=−0,5x^2−2x+1,5$.

$\mathscr{C}_f$ représente la fonction $f$ et $\mathscr{C}_g$ représente la fonction $g$.

$1)$ Résoudre graphiquement l’équation $f(x)=g(x)$.

$2)$ Vérifier que $f(x)−g(x)=(x−1)(x+3)$ et résoudre algébriquement l’équation $f(x)=g(x)$.

$3)$ Résoudre graphiquement $f(x)$ $<$ $g(x)$.