Chapitres Seconde > Fonctions - Trigonométrie

$1)$ Convertir les cinq mesures suivantes en radians : $244˚$, $120˚$, $217$˚, $261˚$ et $ 340°.$

$2)$ Convertir les cinq mesures suivantes en degrés : $\dfrac{38\pi}{36},\dfrac{56\pi}{36},\dfrac{50\pi}{45},\dfrac{22\pi}{15}$ et $\dfrac{24\pi}{15}\ rad.$

$1)$Déterminer les mesures principales des angles suivants en radians : $\dfrac{39\pi}{23}, \dfrac{43\pi}{27} ,\dfrac{120\pi}{15} ,\dfrac{97\pi}{8}$ et $\dfrac{-16\pi}{10}\ rad.$

$2)$ Des angles ont été placés sur le cercle trigonométrique ci-dessous, représentés en rouge par les points $M_0$,$ M_1$, $M_2$ et $ M_3$. Lire leurs mesures principales en radians ( les lignes vertes, grises et bleues représentent des angles multiples de $\dfrac{\pi}{3},$ de $\dfrac{\pi}{4}$ et de $\dfrac{\pi}{5}.$

$3)$ Placer les angles suivants sur le cercle trigonométrique:$\dfrac{\pi}{6},\pi,\dfrac{-\pi}{5}$ et $\dfrac{6\pi}{5}\ rad.$

$1)$ Convertir les cinq mesures suivantes en radians : $56$˚,$ 86$˚,$ 151˚$, $40$˚et $190$°.

$2)$ Convertir les cinq mesures suivantes en degrés :$\dfrac{\pi}{3},\dfrac{\pi}{5},\dfrac{27\pi}{18},\dfrac{5\pi}{4}$ et $\dfrac{38\pi}{20}\ rad.$

$1)$ Déterminer les mesures principales des angles suivants en radians :$\dfrac{100\pi}{9},\dfrac{64\pi}{22},\dfrac{118\pi}{29},\dfrac{92\pi}{28}$, et $\dfrac{-114\pi}{17}\ rad$

$2)$ Des angles ont été placés sur le cercle trigonométrique ci-dessous, représentés en rouge par les points $M_0$, $M_1$, $M_2$ et $M_3$. Lire leurs mesures principales en radians ( les lignes vertes, grises et bleues représentent des angles multiples de $\dfrac{\pi}{3}$, de$\dfrac{\pi}{4}$, et de $\dfrac{\pi}{5}.$

$3)$ Placer les angles suivants sur le cercle trigonométrique :
$π,\dfrac{3\pi}{5},\dfrac{-2\pi}{5},$et $\dfrac{9\pi}{6}\ rad$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$fx()=−4x^2+ 3x-\frac{1}{2}.$$
$1)$ Faire une étude complète de la fonction $f$ $($limites, sens de variation, etc...$)$, dressez son tableau de variations, et tracez sa courbe représentative $C$ dans un repère orthonormal $($unité de longueur $4\ cm).$

$2)$ Trouvez les solutions dans $[0;2\pi]$ de l'équation, d'inconnue $a$ : $\sin(3a) =\dfrac{1}{2}$. Représentez sur un cercle trigonométrique les points associés à ces solutions.

$3)$ Montrez que pour tout nombre réel $a$, $\sin(3a)=3\sin (a)-4\sin^3 (a).$

$4)$ Déduisez de la question $(2)$ les solutions de l'équation $f_{x}=0$. Donnez-en des valeurs approchées à $0,1$ près.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\sin (2x).$
On note $(C)$ la représentation graphique de $f$ dans un repère orthonormal $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}).$

$1)$ Calculer $f(0);f(\dfrac{\pi}{6});f(\dfrac{\pi}{12});f(\dfrac{\pi}{2});f(\dfrac{\pi}{8});f(\pi)$

$2)$ Montrer que $f$ est impaire. Que peut-on en déduire pour la courbe représentative $(C)$ $?$

$3)$ Soit $x$ un nombre réel. Comparer $f (x + \pi)$ et $f (x)$. Que peut-on en déduire pour $f$ $?$

$4)$ Démontrez que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{4}]$ puis strictement décroissante sur $[\dfrac{\pi}{4};\dfrac{3\pi}{4}].$

$5)$ Représenter graphiquement la fonction f sur l'intervalle $[-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{3\pi}{4}].$

On considère la fonction numérique $f$ définie par $$f(x) = 2x-\ sinx .$$

$1)$ Montrer que pour tout $x$ réel :$$2x- 1\leq f(x) \leq 2x+ 1.$$

$2)$ En déduire les limites de $f$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ et lorsque $x$ tend vers $-\infty.$

Déterminer, à l'aide des théorèmes de comparaison, les limites en $+\infty$ et en $-\infty$ de chacune des fonctions $f$ suivantes $($si elles existent$)$ :
$$(1) \qquad f(x)=\frac{1+ \cos x}{\sqrt{x}}\ ;$$

$$(2) \qquad f(x)=\frac{x \sin x}{x^2+1}.$$

Soit $x$ un réel de $]0; 2[$. Dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}),$ on considère les points :
$$A(1;0) \qquad M(cos x;sin x) \qquad P(cos x;0).$$
On considère de plus le point $T$ intersection de $(OM)$ et de la perpendiculaire à $(OA)$ en $A.$

$1)$ Montrer que $$AT = \tan x.$$

$2)$ Soit $A_{1}$ l'aire du triangle $OAM$, $A_{2}$ l'aire du secteur de disque $OAM$ et $A_{3}$ l'aire du triangle $OAT$. En comparant ces aires, prouver que : $\sin x ≤ x ≤ \tan x$.

$3)$ En déduire que $$\cos x \leq\dfrac{\sin x}{x} \leq1.$$

$4)$ Déterminer $\lim_{x \to 0 x>0} \dfrac{\sin x}{x}.$

En utilisant le résultat $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$ $($cf exercice précédent$)$, étudiez les limites en $0$ des fonctions :
$$1) \qquad x \rightarrow \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{2x}\ ;$$

$$2) \qquad x \rightarrow \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin 3x}\ ;$$

$$3) \qquad x \rightarrow \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{\sin 4x}\ ;$$

$$4) \qquad x \rightarrow \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}.$$

Dans chacun des cas suivants, calculer la fonction dérivée de la fonction $f$ en précisant le domaine de définition et le domaine de dérivabilité :
$$(1)\qquad f(x)=x\cos x-2\sin x\ ;$$

$$(2)\qquad f(x)=\dfrac{\sin x}{x}\ ;$$
$f(x)=\cos (3x)-\sin (2x)$. $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ en tant que somme et produits de fonctions qui le sont pour tout $x\in \mathbb{R}\ ; \quad f'(x)=3\times (-\sin (3x))-2\times (\cos (2x))=-3\sin (3x)-2\cos(2x)$ donc, $f'(x)=-3\sin (3x)-2\cos(2x).$

Calculer les dérivées d’ordre $1 \;à\; n ,\;n\in\mathbb{N}$, de $f$ sur l’intervalle $I$, avec $f(x)=\cos 3x$ et $I=\mathbb{R}.$