Chapitres Seconde > Géométrie - Vecteurs

Simplifer au maximum l'écriture du vecteur
$$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{RC}+\overrightarrow{SI}-\overrightarrow{RB}.$$

Soient $[AC]$ et $[BD]$ deux diamètres d'un cercle $C$.
Démontrer que
$$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}.$$

Tracer un triangle équilatéral $ABC$ de côté $4\ cm$. Construire le point $D$ vérifiant :
$$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}.$$

$ABC$ est un triangle. Construire les points $M , N , P , Q$ définis par :
$$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\ ;$$
$$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\ ;$$
$$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}\ ;$$
$$\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}.$$
Justifier chaque construction.

Laisser les traits de construction tracés au crayon de papier. Il sera tenu compte de la propreté et de la clarté de la figure.

On donne les points$ A(−1; 3$), $B(1; 1)$, $C(2; 2)$ et $ D(3; 4)$.

$1)$ Calculer les coordonnées des points $E, F, G$ tels que :

$(a)$ $\overrightarrow{AE} = 3 \overrightarrow{AB}$ ;

$(b)$ $ C $ est le milieu de $[AF]$ ;

$(c)$ $\overrightarrow{AG} =\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AD}.$

$2)$ Démontrer que les points $E$, $F$, $G$ sont alignés.

Soit $I$ le milieu d'un segment $[AB]$ et $M$ un point n'appartenant pas à la droite $(AB)$.

$1)$ Construire les points $C \;et\; D$ tels que
$$\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IM} \quad et \quad \overrightarrow{ID}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IM}.$$
$2)$ Quelle est la nature des quadrilatères $AIMC$ et $IBDM$ $?$

$3)$ Démontrer que $M$ est le milieu de $[CD]$.

$4)$ Démontrer que $\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{BM}.$

$5)$ Soit $E$ le symétrique de $I$ par rapport à $M$.

$\;$ $a)$ Traduire cette propriété par une égalité vectorielle.

$\;$ $b)$ Démontrer que $\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{IE}.$

Simplifer au maximum l'écriture des vecteurs suivants :
$$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{HF}+\overrightarrow{SU}+\overrightarrow{RS}+\overrightarrow{UH},$$
$$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{AB}.$$

Dans tout cet exercice, laisser les traits de construction apparents. Refaire les figures.

$1)$ Placer le point $A$ tel que $\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{u}-\frac{1}{2}\overrightarrow{v}$, puis tracer le vecteur $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$.

$2)$ $\;$ $a)$ Représenter les points $D \;et\; E$ vérifiant :
$$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC} \qquad \overrightarrow{EC}=\overrightarrow{AB}.$$

$\;$ $b)$ Démontrer que $C$ est le milieu de $[ED]$.

Soit $ABCD$ un parallélogramme de centre $O$. Démontrer que :
$$2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}.$$

Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle les vecteurs $ \overrightarrow {U}(2 ; 5)$ et $\overrightarrow{V} (x ; 3)$ sont colinéaire.

On considère un segment $[AB]$ de longueur $4\ cm$. Soit $M$ le point défini par la relation $3\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$.

$1)$ Exprimer $\overrightarrow{AM}$ en fonction $\overrightarrow{AB}$.

$2)$ Placer le point $M$ sur une figure.

On donne les points $A(−3; 5)$$, B(2; 3)$,$ C(12; −1)$ et $ D(7; \dfrac{1}{2}).$

$1)$ Démontrer que les points $A, B, C$ sont alignés.

$2)$ Le point $D$ appartient-il à la droite $(AB)$ $?$ Justifier la réponse par le calcul.

$3)$ Calculer les longueurs $AB$ et $BC.$