Chapitres Première S > Statistiques et probabilités - Échantillonnage

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $n=9$ et $p=\frac{1}{3}.$

$1)$Calculer son espérance et son écart-type.

$2)$ Calculer $P(X≥2)$. Donner une valeur approchée au millième.

La société qui fabrique les fameux jeans « Clovis » avait fait faire en $2008$ une enquête de satisfaction qui indiquait que $75\%$ des clients étaient satisfaits de leur jean. Le directeur de marketing désire lancer une campagne de publicité en $2010$ dont le slogan serait « trois quarts de nos clients nous sont fidèles ».

$1)$ Sous l’hypothèse que la proportion de $2008$ est toujours valable en $2010$, déterminer l’intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ de la fréquence des personnes fidèles à la marque sur un échantillon de taille $100.$

$2)$ Le directeur de marketing commande une enquête à un institut de sondage auprès de $100$ personnes.
L’institut répond :
« $64\%$ des personnes sondées sont fidèles à la marque Clovis ».
Quelle décision peut prendre le directeur de marketing ?

Entre les deux tours d’une élection présidentielle, il ne reste que deux candidats $A$ et $B$ en lice. Lors d’un débat télévisé, $A$ affirme sur la foi d’un sondage secret que si l’élection avait lieu maintenant, il gagnerait largement avec $60\%$ des voix. Avant la fin du débat, $B$ fait effectuer un sondage par téléphone auprès de $200$ personnes en âge de voter. Le résultat donne $104$ personnes en faveur de $A$.

$1)$ En supposant que le sondage secret reflète fidèlement l’opinion des électeurs le jour du débat, donner l’intervalle de fluctuation à $95\%$ de la fréquence des personnes favorables à $A$ sur un échantillon de $200$ personnes.

$2)$ Que peut-on dire suite au résultat du sondage demandé par $B$ ?

$3)$ Reprendre les deux questions avec un intervalle de fluctuation au seuil de $98\%$.

Les infections nosocomiales sont des infections contractées lors d’un séjour hospitalier. En France, la dernière enquête de prévalence « un jour donné en $2006$ » dans les établissements de santé a dénombré $\ $ patients infectés sur $360\ 000$ personnes hospitalisées.
Le jour de cette enquête nationale, près de $930$ des $19\ 400$ patients hospitalisés dans les Pays de la Loire étaient atteints d’une ou plusieurs infections nosocomiales.
Au seuil de $95\%$, les résultats en Pays de la Loire montrent-ils une différence significative par rapport aux résultats nationaux le jour de l’enquête ?

Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

$1)$ Si, après avoir déterminer un intervalle de fluctuation d’une fréquence associée à une variable aléatoire $X$ suivant une loi binomiale $B(n;p)$ au seuil de $95\%$, on rejette l’hypothèse au risque de $5\%$, alors on la rejette nécessairement au seuil de $1\%.$

$2$) Lisa affirme que sa pièce de collection de $10$€ est parfaitement équilibrée. Aziz en doute et la lance $40$ fois pour voir. Il obtient $26$ Pile exactement et il en conclut que la pièce n’est pas équilibrée.

$a.$ Si on suppose que la pièce est bien équilibrée, un intervalle de fluctuation au seuil de $90\%$ de la fréquence de Pile sur $40$ lancers est
$I ≈[0,375; 0,625].$

$b.$ Comme la fréquence $f = 0,65$ obtenue par Aziz n’appartient pas à $I$, Aziz a raison de rejeter l’hypothèse de « pièce équilibrée ».

Lucie a lancé un dé $80$ fois. Elle a obtenue $52$ fois un nombre pair. Elle s’étonne du résultat.

$1)$ Déterminer l’intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$.

$2)$ Que peut-on lui dire ?

Une loterie est organisée dans l’ensemble des écoles primaires d’une ville. Les organisateurs annoncent $75\%$ de billets gagnants. Dans l’école de Yan, $102$ billets ont été achetés et seuls $58$ étaient gagnants.
Peut-on penser, comme Yan, que la publicité était quelque peu mensongère ? Pour cela, on déterminera l’intervalle de fluctuation au seuil de $95\%.$

Dans une usine automobile, on contrôle les défauts de peinture. On considère que dans des conditions normales, on a $20\%$ de ce type de défauts. Lors du contrôle aléatoire de $50$ véhicules, on observe $26\%$ de défauts.

$1)$ Déterminer l’intervalle de fluctuation au seuil de $90\%$. Faut-il s’inquiéter ?

$2)$ Même question avec l’intervalle de fluctuation au seuil de$ 98\%$.

En lançant une pièce équilibrée un certain nombre de fois, on obtient une fréquence de Pile égale à $0,42$.
Que peut-on dire de la pièce si on a lancé la pièce $30$ fois ? $100$ fois ?
$1\ 000$ fois ?
On pourra commencer par déterminer les intervalles de fluctuations au seuil de $95\%$.

Dans une usine de fabrication de composants électroniques, une chaîne de montage est destinée à la fabrication d’une carte mère. Des études précédentes, on peut admettre que si l’on choisit au hasard une carte mère fabriquée par cette chaîne de montage, la probabilité qu’elle soit défectueuse est égale à $p = 0,0125$.
Le contremaître vérifie un échantillon de $1\ 000$ cartes mères à la sortie de cette chaîne. Il constate que $18$ pièces sont défectueuses.

$1)$ Déterminer l’intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ du nombre de pièces défectueuses fabriquées par cette chaîne de montage.

$2)$ Peut-on considérer que cette chaîne de montage doit être de nouveau réglée ?

Mathieu propose à Mathilde de jouer avec un dé qu’il a fabriqué lui-même. Mathilde, suspicieuse, souhaite vérifier si le dé de Mathieu est bien équilibré. Pour cela, elle le lance $150$ fois et obtient $13$ fois la face $«\ 5\ »$.

$1)$ Quelle est la proportion théorique du nombre de faces $«\ 5\ »$ que l’on doit obtenir si le dé est équilibré ?

$2)$ Justifier que la loi binomiale peut être utilisée dans ce cas pour déterminer, au seuil de $95\%$, l’intervalle de fluctuation du nombre de lancers. Préciser alors les paramètres de cette loi binomiale.

$3)$ Déterminer l’intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ du nombre de faces $«\ 5\ »$ obtenues. Peut-on alors considérer que le dé de Mathieu est équilibré ?

Un médecin, habitué à changer de commune rurale régulièrement, estime qu’au mois de janvier de n’importe quelle année, il y a $30\%$ de la population qui attrape cette maudite grippe.
Cette année, en fin du mois de janvier, il constate que $35\%$ de la commune où il vient des’installer ont été touchés par la grippe. On peut compter $5 489$ habitants dans cette commune.

Est-ce que ce médecin peut s’inquiéter de ce pourcentage ?