Chapitres Seconde > Fonctions - Inéquations

$1)$ Soit $ f(x) = (x-2)^{2} - 3(x-2) $ pour tout nombre réel $x$.
$1$ $a)$ Montrer que, pour tout nombre réel x, $ f(x) = x^2 - 7x + 10$.

$b)$ Montrer que, pour tout nombre réel $x$, $ f(x) = (x-2)(x-5)$.

$2)$ On dispose maintenant de trois formes pour $f (x)$ :
- forme initiale : $(x-2)^2 - 3(x-2)$ ;
- forme développée : $(x)^2 - 7x + 10$ ;
- forme factorisée : $(x-2)(x-5)$.

Répondre à chacune des questions suivantes, sans calculatrice, en veillant à choisir judicieusement à chaque fois la forme de $f(x)$ que vous utiliserez :

$2$ $a)$ Calculer $f(0)$ et $f(\sqrt{2})$

$b)$ Calculer $f(2)$ et $f(5)$

$c)$ Résoudre l’équation $f(x)=0$

$d)$ Résoudre l'équation $f(x)=10$.

Répondre par vrai ou faux aux affirmations suivantes :

$1)$ Une fonction homographique est toujours définie sur $\mathbb{R}^{*} = ]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ ;

$2)$ Une fonction homographique peut-être définie sur $\mathbb{R}$ privé de $1$ et $3$.

$3)$ La fonction $x \mapsto \dfrac{2-x}{10-x}$ est une fonction homographique.

$4)$ La fonction $x \mapsto \dfrac{x^2+1}{x+4}$ est une fonction homographique.

$5)$ Une équation quotient $\dfrac{ax+b}{cx+d}=0$ admet pour solution $-\dfrac{b}{a}$ et $-\dfrac{d}{c}.$

Résoudre les inéquations suivantes :

$2)$ $\dfrac{5x-2}{-3x+1} < 0$ ;

$3)$ $\quad \dfrac{3x}{4x+9} > 0$

$4)$ $\dfrac{2x – 10}{11x+2} \le 0.$

Résoudre les inéquations suivantes :

$2)$ $\quad\dfrac{1}{x} \ge 2$ ;

$3)$ $\quad \dfrac{1}{x} \le 1.$

$1)$ Représenter dans un même repère orthonormé les courbes $C_f$ et $C_g,$ représentant les fonctions $f$ et $g$ définies de la façon suivante :

$f(x)=2x$ pour tout réel $x$ non nul ;

$g(x)=2x–3$ pour tout réel $x$.

$2)$ Vérifier que les points $A(2;1)$ et $B(−12;−4)$ sont communs à $C_f$ et $C_g$.

$3)$ En déduire, graphiquement, les solutions de l’inéquation $f(x)≤g(x)$.

Résoudre graphiquement dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :

$1)$ $\quad x^2 > 16$ ;

$2)$ $\quad x^2 \le 3$ ;

$3)$ $\quad x^2 \ge -1$ ;

$4)$ $\quad x^2 \le -2$ ;

$5)$ $\quad x^2 > 0.$

Démontrer que pour tout réel $x$ on a : $4x^2–16x+25≥4x.$

Soit $f$ une fonction dont la courbe représentative $\mathscr{C}$ est donnée ci-dessous :

En utilisant le graphique, répondre aux questions suivantes en justifiant votre démarche.

$1)$ Déterminer l’image de $2$ par $f$.

$2)$ Déterminer $f(0)$, $f(1)$ et $f(−2)$.

$3)$ Résoudre $f(x)=−2$.

$4)$ Déterminez les antécédents de $2$ par $f$.

$5)$ Résoudre $f(x) \leq 2.$

$6)$ Résoudre $f(x) > 0.$

Dans chacun des cas, fournir les tableaux de signes correspondants :

$1)$ $\quad (2x + 1)(x – 3)$ ;

$2)$ $\quad (x – 2)(x – 5)$ ;

$3)$ $\quad (3x – 5)(-2 – x).$

Dans chacun des cas, fournir les tableaux de signes correspondants :

$1)$ $\quad \dfrac{3x + 1}{x – 1}$ ;

$2)$ $\quad \dfrac{2 – 3x}{5 – x}$ ;

$3)$ $\quad \dfrac{4x – 1}{2 – x}.$

Résoudre les inégalités suivantes :

$1)$ $\quad (3x + 1)(2x + 3) > 0$ ;

$2)$ $\quad (x – 3)(4 + x) \ge0$ ;

$3)$ $\quad (5 – x)(2x + 1) < 0$ ;

$4)$ $\quad (-x +7)(x + 3)\ge 0.$

Résoudre les inégalités suivantes :

$1)$ $\quad x^2 \le 1$ ;

$2)$ $\quad \dfrac{2}{x – 2} < \dfrac{3}{x + 1}$ ;

$3)$ $\quad\dfrac{2x + 1}{x + 2} \ge 3$ ;

$4)$ $\quad\dfrac{1}{x} < \dfrac{1}{2x – 1}.$