Chapitres Terminale S > Analyse - Fonctions sinus et cosinus

Étudier les limites suivantes :

$1)$ $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x \sin x}{1-\cos x}$

$2)$ $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x -\sin 2x}{x²}$

Étudier les limites suivantes :

$1)$ $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{\sqrt{x}}$

$2)$ $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos² x-1}{x}$

Étudier les limites suivantes :

$1)$ $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan x-\sin x}{x^3}$ ;

$2)$ $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan 4x}{\sin x}.$

Résoudre sur $]−π ; π]$ les équations suivantes :

$1)$ $2 \cos^2 x − 3 \cos x + 1 = 0$

$2)$ $2 \sin^2 x + 5 \sin x + 2 = 0$

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation : $$2\sin(3x)−1=0.$$

Soit $f $ définie sur $[0;π]$ par $f(x)=\sin(2x)−x.$
Montrer que $f′(x)=4\cos2x−3.$

On rappelle que pour tout réel $a$ et tout réel $b,$ $\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b).$
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{j}).$
On considère la droite $\mathscr{D}$ d'équation $y=-x+2.$

$1)$ Montrer que si le réel $θ$ appartient à l’intervalle $\left]-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{3\pi}{4}\right],$ alors $\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)>0.$

$2)$ Soit $M$ un point du plan complexe d’affixe $z$ non nulle. On note $ρ=|z|$ le module de $z$ et $θ=arg(z)$ un argument de $z$ ; les nombres $ρ$ et $θ$ sont appelés coordonnées polaires du point $M.$
Montrer que le point $M$ appartient à la droite $\mathscr{D}$ si et seulement si ses coordonnées polaires sont liées par la relation : $$\rho=\dfrac{\sqrt{2}}{\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)}, \text{ avec} \theta\in\left]-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{3\pi}{4}\right[\text{ et } \rho>0.$$
$3)$ Déterminer les coordonnées du point de la droite $\mathscr{D}$ le plus proche de l’origine $O$ du repère.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x)=x^2+3x+\sin x.$$ $1)$ Démonter que pour tout réel $x,$ on a : $$x^2+3x-1 \leq f(x) \leq x^2+3x+1.$$

$2)$ Calculer $\lim_\limits{x \to -\infty} f(x)$ et $\lim_\limits{x \to +\infty} f(x).$

On considère la fonction $f$ définie sur $]3,+\infty[$ par : $$f(x)=\dfrac{x^2+\cos x}{x-3}.$$ $1)$ Ecrire un encadrement de $f(x)$ pour tout réel $x> 3.$

$2)$ Calculer $\lim_\limits{x \to +\infty} f(x).$

Calculer la limite en $+\infty$ de chacune des fonctions suivantes :

$1)$ $\cos x +x$ ;

$2)$ $\dfrac{\sin x }{x}.$

Calculer la limite en $0$ de chacune des fonctions suivantes :

$1)$ $f(x)=\dfrac{\sin x+x}{x}$ ;

$2)$ $f(x)=\dfrac{x^2+2\sin x}{3x}.$

En utilisant la définition du nombre dérivé, calculer $\lim_\limits{x \to 0}\dfrac{\cos x-1}{x}.$