Chapitres Terminale S > Analyse - Suites

Prouver que le nombre $10^{2011} + 10^{2012} + 10^{2013}$ est divisible par $37.$

Soit $(a_n)_{n\geq1}$ une suite numérique non constante telle que pour tout $n\in\mathbb{N^*}:$
$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} a_i=\dfrac{a_{n+1}}{3}.$$
On pose $b_n=\dfrac{a_n}{n}$ $ (\: \forall x \in \mathbb{N^*}).$
Monter que la suite $(b_n)_{n\geq1}$ est arithmétique.

Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$, par :
$\:u_n=\frac{n^2}{2^n}.$
$1)$ Calculer $u_n$ pour $n\leq4$.

$2)$ Etudier le signe de $f(x)=-x^2+2x+1$ sur $ [0,+\infty[.$

4) En déduire que si $n\geq3$ alors $u_{n+1}\geq u_n.$

La production d'une entreprise peut-être modélisée par une suite arithmétique $(u_n)$ telle que, pour tout naturel non nul n, $u_n$ désigne le nombre d'appareils produits l'année $n.$
La première année, la production est de $7500$ appareils ; on a donc $u_1=7500.$ La sixième année, la production est de $12000$ appareils ; on a donc $u_6=12000.$

$1)$ Déterminer la raison de la suite $(u_n)$.

$3)$ Au bout de combien d'années la production annuelle aura-t-elle dépassé le triple de la production initiale ?

Démontrer que pour tout entier naturel $n$ on a :

$S_n = \sum_ {k=0}^{n} k = 0 + 1 + 2 +\ldots+n = \dfrac{n(n+1)}{2}$

Soit $a\in \mathbb{R^+}.$ Démontrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ on a $(1+a)^n \ge 1+na.$

Soit $f$ définie par $f(x) = \dfrac{1}{1-x}$ pour tout $x \ne 1$.
Démontrer que, pour tout entier $n \geq 1: f^{(n)}(x) = \dfrac{n!}{(1-x)^{n+1}}$ ,où $f^{(n)}$ désigne la dérivée $n^{\text{ième}}$ de $f$.

Soient $n \in \mathbb{N^*}$ des réels supérieurs ou égaux à $1$.
Montrer que $\displaystyle \prod_{i=1}^n \left(1+a_i\right) \leq 2^{n-1}\left(1+\prod_{i=1}^n a_i\right)$.

Soit $n \in \mathbb{N^*}$ et $a_1,a_2,\ldots, a_n$ $\: \:n$ réels strictement positifs.

$1)$ Vérifier que $\forall x>0, x+\dfrac{1}{x} \geq2$.

$2)$ En déduire, par récurrence que, $\displaystyle \left(\sum_{i=1}^n a_i\right) \times \left(\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{a_i}\right) \geq n^2$.

Soient $(u_n)_{n\geq2}$ et $(v_n)_{n\geq2}$ deux suites numériques définies par :
$v_n=u_n+\dfrac{1}{3n^2}$ et $u_n=\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{k^2(k+1)^2}$.
Monter que $(u_n)_{n\geq2}$ et $(v_n)_{n\geq2}$ sont adjacentes.

Démontrer que pour tout entier naturel $n$ on a :
$$S_n = \sum_{k=0}^{n} k = 0 + 1 + 2 +\ldots+n = \dfrac{n(n+1)}{2}.$$

Démontrer que pour tout entier $n≥1$, on a :
$$S_n = \sum_{k=1}^{n} k^2 = 1^2+2^2+\ldots+n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$$