Chapitres Terminale S > Nombres complexes

Trouver trois nombres complexes $a, b, c$ tels que $a+b+c = a.b.c = |a|= |b|= |c| =1.$

Calculer de deux façons différentes les racines carrées de $1+i$ et en déduire les valeurs exactes de $\cos(\frac{\pi}{8})$ et $\sin(\frac{\pi}{8}).$

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation suivante : $$z²+z+1=0$$

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation suivante :$$2z²+2z+1=0$$

Indiquer si l'affirmation suivante est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie :

On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct $( O ,\overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} ).$
L’ensemble des points du plan d’affixe $z$ tels que $|z − 4| = |z + 2i|$ est une droite qui passe par le point $A$ d’affixe $3i.$

Indiquer si cette affirmation est vraie ou fausse avec la justification :

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $(O, \vec{u}, \vec{v})$.
L'équation $z^3-3z^2+3z=0$ admet $3$ solutions dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$, qui sont les affixes de $3$ points formant un triangle équilatéral.

Soit $z$ un nombre complexe.
Monter que $$ \dfrac{|Re(z)|+|Im(z)|}{\sqrt{2}}\leq |z|.$$

Soit $z$ un nombre complexe.
Monter que $$|z| \leq |Re(z)|+|Im(z)|.$$

Soient $a$ et $b$ deux nombres complexes tels que $a\ne b.$
Monter que $|a|=1\Rightarrow |\dfrac{a-b}{1-\bar{a}b}|=1.$

Soient $a,$ $b$ et $c$ des nombres complexes.
Monter que $$|a|=|b|=|c|=1 \Rightarrow |ab+bc+ca|=|a+b+c|.$$

Soient $a$ et $b$ deux nombres complexes tels que $a\ne b$ et $|a|=|b|=1.$
Montrer que : $(\forall z\in \mathbb{C}) ; \dfrac{z+ab\bar{z}-(a+b)}{a-b}\in i\mathbb{R}.$

Soit $z$ un nombre complexe.
Montrer que $$|z|=1\Rightarrow i(\frac{1+z}{1-z})\in \mathbb{R}.$$