Chapitres Terminale ES > Analyse - Suites

Étudier le sens de variation des suites $( u_n)$ définies ci-dessous :

$1)$ $( u_n)=3n-5$.

$2)$ $( u_n)=-n^2+5n-2$.

Étudier le sens de variation des suites $(u_n)$ définis ci-dessous :

$1)$ $(u_n)=(-\frac{1}{2})^n$.

$1)$ En reconnaissant la somme des termes d'une suite arithmétique, calculer $S_1=\frac{1}{3}+1+\frac{5}{3}+...+\frac{19}{3}+7$.

Le $1^{er }$ Janvier $2000$, un client a placé $3\ 000$ € à intérêts composés au taux annuel de $2, 5 \%.$
On note $C_n$ le capital du client au $1^{er }$ Janvier de l’année $2000 + n$, où $n$ est un entier naturel.

$1)$ Calculer $C_1$ et $C_2.$ Arrondir les résultats au centime d’euro près.

$2)$ Exprimer $C_{n+1}$ en fonction de $C_n$. En déduire que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a la relation :
$$C_n= 3 000 × 1, 025^n.$$

$Partie \: A$ :
On considère la suite $(u_n )$ définie par $u_0 = 10$ et pour tout entier naturel $n,u_{n+1} = 0, 9u_n + 1, 2.$

$1)$ On considère la suite $(v_n )$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n − 12.$

$a.$ Démontrer que la suite $(v_n )$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

$b.$ Exprimer $v_n$ en fonction de $n.$

$c.$ En déduire que pour tout entier naturel $n, u_n = 12 − 2 × 0, 9 n.$

$2)$ Déterminer la limite de la suite $(v_n)$ et en déduire celle de la suite $(u_n ).$

$Partie \: B$ :
En $2012$, la ville de Bellecité compte $10$ milliers d’habitants. Les études démographiques sur les dernières années ont montré que chaque année :
• $10 \%$ des habitants de la ville meurent ou déménagent dans une autre ville ;
• $1\ 200$ personnes naissent ou emménagent dans cette ville.

$1)$ Montrer que cette situation peut être modélisée par la suite $(u_n )$ où $u_n$ désigne le nombre de milliers d’habitants de la ville de Bellecité l’année $2012 + n.$

$2)$ Un institut statistique décide d’utiliser un algorithme pour prévoir la population de la ville de Bellecité dans les années à venir.
Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’il calcule la population de la ville de Bellecité l’année $2012 + n.$

La production des perles de culture de Tahiti est une activité économique importante pour la Polynésie Française.
Les montants réalisés à l’exportation des produits perliers de $2008$ à $2011$ sont donnés dans le tableau suivant, en milliers d’euros.

$1)$ Montrer que le taux d’évolution annuel moyen des montants à l’exportation des produits perliers de Polynésie entre $2008$ et $2011$ est $−8, 06 \%$ arrondi au centième.
On admet pour la suite de l’exercice, que la production continuera à baisser de $8 \%$ par an à partir de $2011.$

$2)$ On considère l’algorithme suivant :

Si on saisit $P = 50\ 000$ en entrée, qu’obtient-on en sortie par cet algorithme ? Interpréter ce résultat dans le contexte de la production de perles.

$3)$ Pour prévoir les montants réalisés à l’exportation des perles de Tahiti, on modélise la situation par une suite $(u_n).$ On note $u_0$ le montant en $2011,$ en milliers d’euros, et $u_n$ le montant en $2011 + n,$ en milliers d’euros. On a donc $u_0 = 63 182$ et on suppose que la valeur baisse tous les ans de $8\%.$

$a.$ Montrer que $(u_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.

$b.$ Exprimer, pour tout entier naturel $n, u_n$ en fonction de $n.$

$c.$ Avec ce modèle, quel montant peut-on prévoir pour l’exportation des produits perliers de Polynésie Française en $2016$ $?$ On arrondira le résultat au millier d’euros.

$4)$ Calculer le montant cumulé des produits perliers exportés que l’on peut prévoir avec ce modèle à partir de $2011$ $($comprise$)$ jusqu’à $2020$ $($comprise$).$ On donnera une valeur approchée au millier d’euros.

En $2010$, une association comptait $5\ 000$ membres.
Dans cette association, il y a deux groupes nommés $A$ et $B$. En $2010$ le groupe $A$ comptait $3\ 000$ personnes et le groupe $B$ $2\ 000$ personnes. On estime que d’une année à l’autre :
• $15 \%$ des membres du groupe $A$ vont dans le groupe $B$ ;
• $20 \%$ des membres du groupe $B$ vont dans le groupe $A.$
On suppose que l’association refuse toute nouvelle adhésion extérieure. Ainsi, le nombre de membres reste à $5\ 000$ chaque année.
On note $(a_n)$ la suite représentant le nombre d’adhérents dans le groupe $A$ et $(b_n)$ le nombre d’adhérents dans le groupe $B$ l’année $2010 + n.$
Ainsi, $a_0 = 3\ 000$ et $b_0 = 2\ 000.$

$1)$ Montrer que pour tout entier naturel $n,$ $a_{n+1} = 0, 65a_n + 1\ 000.$

$2)$ On pose $u_n = a_n −\dfrac{20\ 000}{7}$ pour tout entier naturel $n.$

$a$. Montrer que la suite $(u_n)$ est géométrique. Préciser alors sa raison et son premier terme.

$b$. En déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n.$

$3)$ Déterminer alors $\lim\limits _{n \to +\infty } a_n,$ puis $\lim\limits _{n \to +\infty } b_n.$ Donner une interprétation de ces résultats.

Dans une réserve, on a constaté une diminution annuelle constante de $10 \%$ de l’effectif des cabris.
Pour sauvegarder l’espèce, on décide d’introduire chaque année un nombre fixe $K$ de ces cabris.

$1)$ $a.$ Résoudre l’équation : $0, 9x + K = x$. On exprimera la solution $x$ en fonction de $K.$

$b.$ Choisir $K$ de façon à ce que le nombre $x$ trouvé précédemment soit égal à $500.$

$c.$ Donner une interprétation du résultat obtenu en $b)$ concernant la population des cabris.

$2)$ À partir de cette question, on prend $K=50.$
On note $p_n$ le nombre de cabris après n années du plan de sauvegarde $($qui consiste donc à introduire $50$ cabris par an$).$
On considère que la population initiale des cabris est $p_0 = 1\ 000.$

$a.$ Expliquer pourquoi on a : $p_{n+1} = 0, 9p_n + 50.$

$b.$ On considère la suite $(t_n )_{n \geq 0}$ définie par : $t_n = p_n − 500$ pour tout entier naturel $n.$
Vérifier que la suite $(t_n )_{n \geq 0}$ est géométrique de raison $q = 0, 9.$
Calculer $t_0.$ En déduire l’expression de $t_n$ en fonction de $n.$

$c.$ En déduire l’expression de $p_n$ en fonction de $n.$ Déterminer une valeur approchée de $p_ {10}.$

$3)$ On prend toujours $K=50$ ; on note encore $p_n$ le nombre de cabris après $n$ années.
On considère cette fois que la population initiale des cabris est de $100.$
En expliquant votre raisonnement, déterminer une valeur approchée de $p{10}$ dans ce cas.

On souhaite comparer l’évolution de deux capitaux.
Sophie possède $800$ $€$ d’économies en janvier, qu’elle augmente de $10 \%$ à la fin de chaque mois.
Yves possède, lui, $1\ 000$ € d’économies en janvier. Il ajoute $50$ € à la fin de chaque mois.

$1)$ Étude du capital de Sophie.
On note $u_0$ le capital initial en janvier.
On note $u_n$ le capital disponible au bout de $n$ mois $(n$ entier naturel non nul$).$

$a.$ Démontrer que la suite $(u_n )_{n\geq0}$ est géométrique de raison $1,1$ et de premier terme $800.$

$b.$ Calculer la somme dont dispose Sophie au mois de janvier de l’année suivante $($au centime d’euro près$).$

$c.$ Calculer le pourcentage d’augmentation de son capital au bout d’une année complète $($arrondi à l’entier$).$

$2)$ Étude du capital d’Yves.
On note $v_0$ le capital initial en janvier.
On note $v_n$ le capital disponible au bout de $n$ mois $(n$ entier naturel non nul$).$

$a.$ Quelle est la nature de la suite $(v_n )_n\geq 0.$ Quelle est sa raison ? Quel est son premier terme ?

$b.$ Calculer la somme dont dispose Yves au mois de janvier de l’année suivante $($au centime d’euro près$).$

$c.$ Calculer le pourcentage d’augmentation de son capital au bout d’une année complète $($arrondi à l’entier$).$

$3)$ Déterminer, à l’aide de la calculatrice, à partir de quel mois les économies de Sophie deviennent supérieures à celles de Yves.

Soit $(u_n)$ la suite définie par son premier terme $u_0 = 1$ et par la relation de récurrence :
$$u_{n+1}=\dfrac{1}{4}u_n+3.$$
$1)$ On se propose de conjecturer graphiquement la limite de la suite $(u_n).$

$a.$ Le plan étant muni d’un repère orthonormé, tracer, pour $x$ appartenant à l’intervalle $[0 ; 12]$, les droites $D$ et $∆$ d’équations respectives :
$y=\dfrac{1}{4}x+3$ et $y=x.$

$b.$ Placer les $3$ premiers termes de $(u_n)$ sur l’axe des abscisses.

$c.$ Que peut-on conjecturer pour la limite de la suite $(u_n )$ $?$

$2)$ Soit $(v_n )$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par : $v_n = u_n − 4.$

$a.$ Déterminer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n.$ En déduire la nature de la suite $(v_n).$

$b.$ Exprimer $v_n$ en fonction de $n.$

$c.$ En déduire que : $∀n ∈\mathbb{N}^*,$ $u_n = 4 − 3(\dfrac{1}{4})^n.$

$d.$ Déterminer la limite de la suite $(u_n ).$

Une ville possède $100\ 000$ habitant au $1$ er janvier $2010.$
Chaque année, elle en perd $5 \%$, mais en gagne $500.$
On note $u_n$ le nombre d’habitants de cette ville au $1$ er janvier de l’année $(2010 + n)$. Ainsi, $u_0 = 100\ 000.$

$1)$ Calculer $u_1$ et $u_2$ .

$2)$ Donner l’expression de $u_{n+1}$ en fonction de $u_n,$ pour un entier naturel $n$ quelconque.
On pose $v_n = u_n − 10\ 000.$

$3)$ Montrer que $(v_n )$ est une suite géométrique, dont on précisera la raison et le premier terme.

$4)$ En déduire une expression de $v_n$ en fonction de $n$, puis une expression de $ u_n$ en fonction de $n.$

$5)$ Calculer la limite de $u_n.$ Interpréter ce résultat.

Dans une librairie, les ventes d’un livre ont été égales à $10\ 000$ la première semaine.

$1)$ On suppose que chaque semaine, les ventes progressent de $2\%.$
On note $u_n$ les ventes de la $n$ e semaine. On a donc $u_1 = 10\ 000.$

$a.$ Calculer $u_2.$

$b.$ Quelle est la nature de la suite $(u_n)_{n\geq1}$ $?$

$c$. En déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n$.

$d.$ Calculer les ventes totales effectuées au cours des $10$ premières semaines.

$2)$ On suppose maintenant que les ventes augmentent de $500$ exemplaires chaque semaine.
On note $v_n$ le nombre de ventes de la $n^{ième}$ semaine. On a donc $v_1 = 10\ 000.$

$a.$ Calculer $v_1.$

$b.$ Quelle est la nature de la suite $(v_n )_{n\geq1}$ $?$

$c.$ En déduire une expression de $v_n$ en fonction de $n.$

$d.$ Calculer les ventes totales effectuées au cours des $10$ premières semaines.

$3)$ Existe-t-il une valeur de $n$ à partir de laquelle $u_n \geq v_ n$ $?$ Dans l’affirmative, préciser cette valeur $($on pourra utiliser la calculatrice$).$