Chapitres Première S > Géométrie - Produit scalaire dans le plan

$ABC$ est un triangle tel que $AB=5$.
Déterminer l’ensemble des points $M$ du plan tels que :

$1)$ $\vec{AB}.\left(\vec{MA}+\vec{MB}\right) = 0.$

$2)$ $\vec{AB}.\vec{AM} = 2.$

$ABC$ est un triangle tel que $AB=5$.
Déterminer l’ensemble des points $M$ du plan tels que :

$1)$ $MA^2+MB^2=AB^2.$

$2)$ $\left(\vec{MA}+\vec{MB}-2\vec{MC}\right).\left(\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}\right) = 0.$

On considère un segment $[AB$] et $(d)$ sa médiatrice. Elle coupe $[AB] $ en $K.$ $M$ est un point de $(d)$ différent de $K.$
On note $H$ le projeté orthogonal de $K$ sur $(AM)$ et $I$ le milieu de $[KH]$.
$1)$ Démontrer que $\vec{MK}.\vec{BH} = \vec{MK}.\vec{AH}.$

$2)$ Démontrer que $\vec{MH}.\left(\vec{HB} + \vec{HA}\right) = 0.$
En déduire que $\vec{MH}.\vec{AH} = \vec{MH}.\vec{HB}.$

$3)$ Déduire des questions précédentes que $\vec{BH}.\left(\vec{MH} + \vec{MK}\right) = 0.$
Prouver que $(MI)$ et $(BH)$ sont perpendiculaires.

On considère la proposition suivante. Il ne s’agit pas de la démontrer.
« Pour tout triangle $ABC$ rectangle en $A$. Soit $H$ le pied de la hauteur issue de $A$. On a $AH²=HB\times HC$ ».
En utilisant seulement cette proposition, répondre aux questions suivantes :
$a)$ Soit $ABC$ un triangle. On note $H$ le pied de la hauteur issue de $A$.
On a $AH=3 ; HC=2 ; HB=8$. Le triangle $ABC$ est-il rectangle ?

$b)$ Soit $ABC$ un triangle. On note $H$ le pied de la hauteur issue de $A$.
On a $AH=6 ; HC=9 ; HB=4$. Le triangle $ABC$ est-il rectangle ?

$c)$ Soit $ABC$ un triangle rectangle en $B$. On note H le pied de la hauteur issue de $A$. A-t-on la relation $AH²=HB\times HC$ ?

$d)$ Soit $ABC$ un triangle isocèle rectangle en $A$. On note $H$ le pied de la hauteur issue de $A$. A-t-on la relation $AH²=HB\times HC$ ?

Dans chacun cas suivants, déterminer le produit scalaire $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$, puis en déduire l’angle $(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}).$

Dans chacun cas suivants, déterminer le produit scalaire $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$, puis en déduire l’angle $(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}).$

$1)$ $\overrightarrow{u} \dbinom{-1}{2}$ et $\overrightarrow{v} \dbinom{3}{-5}$.

$2)$ $\overrightarrow{u} \dbinom{3}{4}$ et $\overrightarrow{v} \dbinom{5}{6}$.

Soit $ABCD$ un carré. On considère alors $I$ le milieu de $[CD]$ et le point $J$ défini par $\overrightarrow{CJ}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{CB}$.
Déterminer une mesure de l’angle $\widehat{IAJ}$ au degré prés.

$ABCD$ est un rectangle tel que $AB = 1$.
$R$ est le milieu de $[DA]$. On sait que $(BR)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires.
Quelle est la mesure de $AD$ ?

Dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O ;\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ on considère le cercle $C$ de centre $A(2 ; 0)$ et de rayon $2$ et le cercle $C$ de centre $B(18 ; 0)$ et de rayon $14$.
Soit $(d)$ la droite passant par $O$ et faisant un angle de $30°$ avec l’axe des abscisses ; elle coupe $C$ en deux points $I$ et $J$, $J$ étant le point le plus éloigné de $O$.
On considère les points $E(4 ; 0)$ et $F(32 ; 0)$. On s’intéresse à la mesure de l’angle $JEF$.

$1)$ Déterminer une équation de la droite $(d)$.

$2)$ Déterminer une équation du cercle $C$.

$3)$ En déduire les coordonnées de $J$.

$4)$ Calculer $\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{ EJ}$, puis en déduire une mesure de $\widehat{ABC}$ en degrés.

Dans chacun des cas suivants, déterminer une équation cartésienne de la droite $\mathscr{D}$.

$1)$ $A(−1 ; 2), B(4 ; −3)$ et $\mathscr{D}$ est la médiatrice de $[AB]$.

$2)$ $\mathscr{D}$ est la droite passant par $A(1 ; 3)$ et perpendiculaire à la droite $\mathscr{D'}$ d’équation $2x − 5y + 3 = 0$.

$3)$ $\mathscr{D}$ est la tangente au cercle de centre $O$ et de rayon $3$ passant par le point d’abscisse $2$.

$4)$ $\mathscr{D}$ a pour vecteur normal le vecteur $\overrightarrow{n}\dbinom{2}{-1}$ et passe par le point $A(−1 ; 2)$.

Dans chacun des cas suivants, donner l’équation cartésienne du cercle $\mathscr{C}$.

$1)$ $\mathscr{C}$ a pour centre le point $A(−1 ; 2)$ et pour rayon $2$.

$2)$ $\mathscr{C}$ est le cercle de diamètre $[AB]$, où $A(2 ; −1)$ et $B(−2 ; 3)$.

$3)$ $\mathscr{C}$ est le cercle de centre $A(4 ; 3)$ tangent au cercle $\mathscr{C'}$ d’équation $(x − 1)^2 + (y − 2)^2 = 1$.

On considère le cercle $\mathscr{C}$ d’équation $x^2 + y^2 − 6x − 4y + 9 = 0$.

$1)$ Donner son rayon et les coordonnées de son centre $A$.
On considère maintenant le cercle $\mathscr{C'}$ de centre $C$, dont le rayon est le double de celui de $\mathscr{C}$ et qui est tangent à $\mathscr{C}$ au point $B(5 ; 2)$.

$2)$ Donner l’équation de $\mathscr{C'}$.
On souhaite maintenant construire un cercle $\mathscr{C_1}$ dont le diamètre est le triple de celui de $\mathscr{C}$ et qui est tangent à $\mathscr{C}$ et $\mathscr{C'}$ . On appelle $D$ le centre de $\mathscr{C_1}$ de sorte que son ordonnée soit positive.

$3)$ Expliquer pourquoi $AD = 8$ et $CD = 10$.

$4)$ Calculer alors les coordonnées de $D$.

$5)$ Donner alors une équation cartésienne de $\mathscr{C_1}$ .
On appelle $E$ le point d’intersection de $\mathscr{C'}$et $\mathscr{C_1}$, et $F$ celui de $\mathscr{C}$et $\mathscr{C_1}$.

$6)$ Les droites $(AE)$, $(CF)$ et $(DB)$ sont-elles concourantes ?